目录

  1. 前言
  2. 分析
    1. 思路A
    2. 实现A
    3. 思路B
    4. 实现B
    5. 时间复杂度对比
      1. A 算法分析
      2. B 算法分析
      3. 结论
  3. 广告

前言

哥德巴赫猜想是(Goldbach’s Conjecture)是数论中存在最久的未解问题之一,
是一个伟大的世界性的数学猜想,其基本思想可以陈述为:

任何一个大于2的偶数,都能表示成两个素数之和。

如:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
96= 23 + 73

本文将采用两种不同的算法来求出给定范围 n 内的哥德巴赫数字,并对比其时间复杂度,得出更优算法。

分析

根据哥德巴赫猜想,我们可以得出如下信息:

  1. 哥德巴赫数字是一个大于2的偶数。
  2. 哥德巴赫数字等于两个素数相加。

思路A

思路A与之前见过的很多想法一样,简单粗暴,采用嵌套 for 循环。思路如下:

  1. for 循环依次遍历 [4, n] 范围内的偶数
  2. 然后,针对每个数字(c)再次进行 for 循环找出两个数字(a,b)之和等于该数字的数字。(即 c = a + b)
  3. 判断 a,b 是否都为素数。
  4. 输出结果。

Show the (garbage) code!

实现A

我们把思路A实现的程序分成两个功能模块:

  1. 判断是否为素数模块 int isPrime(int i),返回 1 即为素数。

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    int isPrime(int i) {
    int j;
    if (i <= 1) return 0;
    if (i == 2) return 1;
    for (j = 2; j < i; j ++) {
    number ++;
    if (i % j == 0) {
    return 0;
    }else if(i != j + 1) {
    continue;
    }else {
    return 1;
    }
    }
    }
  1. 主程序模块:针对 [4, n] 之间的正偶数进行数值拆分,然后再用isPrime函数进行筛选,如果k,j都为素数,即满足哥德巴赫猜想,输出该数字。

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    do {
    printf("please enter a number:");
    int number = 0;
    scanf("%d", &number);
    int i, j, k;
    for (int i = 4; i <= number; i += 2) {
    for (k = 2; k<= i/2; k ++) {
    j = i - k;
    if (isPrime(k)) {
    if (isPrime(j)) {
    printf("%d=%d+%d\n",i, k, j);
    }
    }
    }
    }
    }while (1);

思路B

递归算法,也是我业余时间自己写的一个,递归路径类似鱼骨头,基本思路如下:

  1. 针对输入的 n 进行拆分(c = a + b 的形式)并递归。
  2. 如果拆分的数字 a,b 为偶数,则可能为符合哥德巴赫猜想,回到1。
  3. 如果 c 为偶数,且 a,b 为素数,即满足哥德巴赫猜想,输出该数字。

这里笔者画了一张抽象的鱼骨头图,帮助读者理解:

goldbach-conjecture-fish

实现B

思路B实现的程序主要分成三个功能模块,为了区分思路A,判断素数的模块也采用递归的形式:

  1. 判断是否为素数 int isPrime(int i),返回 1 即为素数。

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21
    // 判断偶数
    int isEven(int original) {
    return (original % 2 == 0);
    }
    int isPrimeInner(int original, int current) {
    if (current<=0 || original<=0 || original == 1) return 0;
    if (original % 2 == 0) {
    if (original == 2) return 1;
    return 0;
    }
    if (current > (original / 2) + 1) return 1;
    if (original % current == 0 && current != 1) return 0;
    return isPrimeInner(original, current + 2);
    }
    // 判断是否为偶数
    int isPrime(int original) {
    return isPrimeInner(original, 1);
    }
  1. 递归模块

    参数 current: 代表分裂初始值,参数 flag: 代表是否深入遍历,此处用于控制重复遍历的情况,如:original=10 时,second=8 时,两次会都会重复遍历 6/4/2,因此加入flag进行限制,只进行一次深入遍历!!

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21
    22
    23
    24
    25
    26
    27
    28
    29
    30
    31
    32
    33
    34
    35
    36
    void splitSumInner(int c, int current, int flag) {
    // 哥德巴赫为大于2的偶数
    if (c <= 2) return;
    // 如果 current 大于 c 的一半,即代表遍历完毕
    if (current >= (c / 2) + 1) return;
    // 第一次分裂 c 数值
    int a = current;
    int b = c - current;
    // 递归遍历并分裂 c 数值
    splitSumInner(c, ++ current, flag);
    // 判断能否深入遍历
    if (flag && a > 2 && isEven(a)) {
    // 深入遍历 分裂第一个子偶数
    splitSum(a, 0);
    }
    if (flag && b > 2 && isEven(b)) {
    // 深入遍历 分裂第二个子偶数
    splitSum(b, 0);
    }
    // 如果 c 为偶数,且 a,b 为素数,即满足哥德巴赫猜想,输出该数字。
    if (isEven(c) && isPrime(a) && isPrime(b)) {
    printf("\n%d=%d+%d\n",c, a, b);
    }
    }
    // original: 待分裂的原始数值(ps:会自动分裂 小于 original 下的所有数值)
    // flag: 1 代表分裂小于 original 下的所有数值;0 代表分裂当前 original 数值
    void splitSum(int original, int flag) {
    splitSumInner(original, 1, flag);
    }
  2. 主程序模块

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    void goldbachConjecture(int n) {
    splitSum(n, 1);
    }
    int main() {
    do {
    printf("please enter a number:");
    int number = 0;
    scanf("%d", &number);
    goldbachConjecture(number);
    } while (1);
    return 0;
    }

时间复杂度对比

时间复杂度说白了就是算法中基本操作的执行次数,更通俗的说法,就是最深层循环内的语句。基本操作的重复执行次数是和算法的执行时间成正比的。下面我们来粗略计算一下上述算法的时间复杂度。

A 算法分析

在程序 A 中,与下面的代码相同,采用嵌套三层 for 循环的方式进行遍历:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
for (int i = 1; i <= n; i ++) { // 第一层循环
for (int j = 1; j <= i; j ++) { // 第二层循环
for (int k = 1; k <= j; k ++) { // 第三层循环
count ++;
printf("%d*%d*%d\n", i, j, k);
}
}
}

下面我们来剖析一下基本操作:

  1. 第一层 for 循环执行 n 次。
  2. 第二层 for 循环以 i 为规模分别执行 1,2,3,4……n-1,n 次,集一个公差为 1 的等差数列,总次数为 (n+1)*n/2。
  3. 第三层 for 循环采用排列组合来计算,举个例子,当 n = 3 时,有 10 次基本操作,我们把执行路径格式定义成 ijk,如下:

    1
    2
    3
    4
    111
    211 221 222
    311 321 322 331 332 333

algorithm-analyze-a

B 算法分析

algorithm-analyze-b

结论

以上时间复杂度只是笔者通过简单粗略的分析得出,仅供参考。通过上述分析,我们发现算法A与算法B时间复杂度是一样的,感兴趣的童鞋可以自己计算上述两种算法的时间复杂度。笔者通过测试发现,相同的问题规模,随着 n 的增大,算法B的时间复杂度要远小于算法A。如:n = 100 时,算法B遍历次数是 6380 次左右,算法A遍历次数高达 15569 次(论算法糟糕的可怕性…)。源码地址

广告

欢迎关注微信公众号

wechat-qrcode